1 Ziel der einfaktoriellen Varianzanalyse (ANOVA)
Die ANOVA (auch: einfaktorielle Varianzanalyse) testet drei oder mehr unabhängige Stichproben auf unterschiedliche Mittelwerte. Die Nullhypothese lautet, dass keine Mittelwertunterschiede (hinsichtlich der Testvariable) existieren. Demzufolge lautet die Alternativhypothese, dass zwischen den Gruppen Unterschiede existieren. Es ist das Ziel, die Nullhypothese zu verwerfen und die Alternativhypothese anzunehmen. Die Varianzanalyse in R kann man mit wenigen Zeilen Code durchgeführt werden. Es gibt auch Tutorials in SPSS und Excel.
2 Voraussetzungen der einfaktoriellen Varianzanalyse (ANOVA)
Die wichtigsten Voraussetzungen der ANOVA sind:
- mehr als zwei voneinander unabhängige Stichproben/Gruppen
- metrisch skalierte y-Variable
- normalverteilte Fehlerterme innerhalb der Gruppen
- Homogene (nahezu gleiche) Varianzen der y-Variablen der Gruppen (deskriptiv oder Levene-Test)
3 Durchführung der einfaktoriellen Varianzanalyse in R (ANOVA)
3.1 Das Beispiel
Im Beispiel prüfe ich drei unabhängige Trainingsgruppen (wenig, durchschnittlich, stark) auf deren mittleren Ruhepuls. Ich vermute dahingehend Unterschiede, dass Probanden der verschiedenen Trainingsgruppen im Mittel unterschiedliche Ruhepulse haben. Das kann man auch gerichtet formulieren: Probanden aus den aktiveren Trainingsgruppen haben im Mittel einen niedrigeren Ruhepuls. Die ANOVA vermag aber nicht einseitig zu testen, da dies nur bei genau 2 Gruppen (z.B. t-Test) funktioniert.
3.2 Deskriptive Voranalyse
Nach dem Einlesen der Daten kann direkt ein deskriptiver Vergleich gestartet werden, der im Rahmen der ANOVA nicht zwingend notwendig ist, beim Schreiben der Ergebnisse hilft. Hierzu nutze ich das Paket “psych”, was ich mit “install.packages” installiere und mit library(psych) lade. Dann lasse ich mir die deskriptiven Statistiken ausgeben. Das Format ist describeBy(Testvariable, Gruppenvariable).
install.packages("psych")
library(psych)
describeBy(data_anova$Ruhepuls,data_anova$Trainingsgruppe)
Hier erhält man folgenden Output:
Descriptive statistics by group
group: 0
vars n mean sd median trimmed mad min max range skew kurtosis se
1 13 68 9.6 69 68.64 10.38 50 79 29 -0.42 -1.26 2.66
------------------------------------------------------------------------------
group: 1
vars n mean sd median trimmed mad min max range skew kurtosis se
1 13 61 9.82 58 60.64 10.38 48 78 30 0.51 -1.17 2.72
------------------------------------------------------------------------------
group: 2
vars n mean sd median trimmed mad min max range skew kurtosis se
1 13 52.85 9.74 52 52.36 13.34 40 71 31 0.28 -1.21 2.7
Hier ist schon erkennbar, dass sich die mit fett markierten Mittelwerte über die Gruppen hinweg unterschieden. Die am wenigsten trainierte Gruppe hat einen mittleren Ruhepuls von 68, die durchschnittlich trainierte Gruppe von 61 und die stark trainierte Gruppe von 52,85.
Die Varianzhomogenität kann man hier auch schon erkennen, da sd (=Standardabweichung = Wurzel der Varianz) in etwas gleich groß sind. Die Frage, die uns die ANOVA nun beantworten muss: Sind diese beobachteten Mittelwertunterschiede statistisch signifikant?
3.3 Die ANOVA rechnen und interpretieren
Hierzu wird die aov()-Funktion verwendet:
anova_training <- aov(data_anova$Ruhepuls~data_anova$Trainingsgruppe)
summary(anova_training)
Mit “anova_training <- aov(…)” definiere ich mir zunächst das ANOVA-Modell, welches ich mir mit summary(anova_training) ausgeben lasse. Der Name “anova_training” kann hierbei vollkommen frei gewählt werden.
Nun kann den Output interpretieren:
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
data_anova$Trainingsgruppe 1 1493 1493 16.22 0.000269 ***
Residuals 37 3405 92
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Hier ist eigentlich nur ein Wert wirklich interessant: der p-Wert findet sich unter Pr(>F) und ist hier 0,000269. Das ist deutlich kleiner als 0,05 und somit kann die Nullhypothese von Gleichheit der Mittelwerte über die Gruppen hinweg verworfen werden. Das berichtet man mit F(1, 37) = 16,22; p < 0,001.
Die entscheidende Frage ist nun, zwischen welchen der drei Trainingsgruppen ein Unterschied existiert. Es ist denkbar, dass nur zwischen zwei Gruppen ein Unterschied existiert oder zwischen allen 3. Hierzu braucht es eine post-hoc-Analyse.
3.4 Post-hoc-Analyse: paarweise Gruppenvergleiche
Diese führt man mittels paarweisen t-Tests (“pairwise.t.test()“) durch. Allerdings muss hierbei der p-Wert angepasst werden, da das mehrfache Testen auf dieselbe Stichprobe zu einem erhöhten Alphafehler führt. Dies hat wiederum zur Folge, dass die Wahrscheinlichkeit einen Fehler 1. Art zu begehen steigt. Ultimativ könnte das dazu führen, dass man die Nullhypothese fälschlicherweise ablehnt, also Unterschiede unterstellt, die nicht existieren.
Aber keine Angst, R hat eine eingebaute Funktion namens “p.adjust()“. Es gibt für p.adjust() verschiedene Argumente, zumeist wählt man die konservativste “bonferroni”. Wird kein Argument übergeben, wird nach der etwas weniger strengen Holm-Methode korrigiert. Weitere Informationen zur Adjustierung des p-Wertes gibt es hier. Der Code zum paarweisen Vergleich sowie dem Anpassen des p-Wertes ist folgender:
pairwise.t.test(data_anova$Ruhepuls,data_anova$Trainingsgruppe, p.adjust="bonferroni")
Als Ergebnis erhält man eine kleine Übersichtstabelle, die nur p-Werte enthält. Diese sind adjustiert nach Bonferroni, wie in der letzten Zeile zu erkennen ist.
Pairwise comparisons using t tests with pooled SD
data: data_anova$Ruhepuls and data_anova$Trainingsgruppe
0 1
1 0.22391 -
2 0.00097 0.11798
P value adjustment method: bonferroni
In der obigen Tabelle kann man folgendes erkennen:
- Der Unterschied zwischen der Gruppe 0 und der Gruppe 1 weist eine adjustierte Signifikanz von p = 0,22391 aus. Für diese beiden Gruppen kann die Nullhypothese keines Unterschiedes demzufolge nicht abgelehnt werden.
- Für den Unterschied zwischen Gruppe 1 und Gruppe 2 ist die adjustierte Signifikanz p = 0,11798. Auch hier kann die Nullhypothese keines Unterschiedes nicht verworfen werden.
- Für den Unterschied zwischen Gruppe 0 und Gruppe 2 ist allerdings eine adjustierte Signifikanz von p = 0,00097 zu erkennen. Die Nullhypothese keines Unterschiedes wird zugunsten der Alternativhypothese eines Unterschiedes verworfen. Der Unterschied ist statistisch signifikant.
Im Ergebnis kann festgehalten werden, dass lediglich zwischen Gruppe 0 (wenig trainiert) und Gruppe 2 (stark trainiert) ein statistisch signifikanter Unterschied hinsichtlich des Ruhepulses existiert. Kontrolliert für die Mehrfachtestung unterscheiden nur sie sich statistisch signifikant voneinander.
3.5 Effektstärke der ANOVA
Die Effektstärke f wird von R nicht mit ausgegeben. f gibt an, wie stark der gefundene statistisch signifikante Effekt der ANOVA ist. Wie wir aber bereits festgestellt haben, interessiert uns ohnehin eher das Ergebnis der post-hoc-Analyse. Dennoch kann man den f-Wert berechnen, der sich aus Eta² ergibt, wie folgende Formel zeigt:
![\[ f = \sqrt{\frac{\eta^2}{1-\eta^2}} \]](https://bjoernwalther.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-26b0e4363f8a9a93a22800043d6aac50_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Hierzu braucht es noch ein zusätzliches Paket namens “DescTools“. Dies kann erneut über die install.packages()-Funktion installiert werden und mit der library()-Funktion geladen werden. Im Paket existiert die Funktion “EtaSq“, die aus dem oben definierten Modell Eta² ausliest. Dies sieht wie folgt aus:
install.packages("DescTools")
library(DescTools)
EtaSq(anova_training)
Hierfür erhalte ich nun zwei Werte. Einmal Eta² (eta.sq) und einmal das partielle Eta² (eta.sq.part). Das partielle Eta² ist nur im Falle einer ANCOVA interessant, da es Einflüsse weiterer Variablen auspartialisiert. Im Falle einer einfaktoriellen ANOVA sind die Werte stets identisch. Auch hier ist dies der Fall:
eta.sq eta.sq.part
data_anova$Trainingsgruppe 0.3047955 0.3047955
Das Eta² hat hier einen Wert von 0,3047955 und muss nun die obige Formel eingesetzt werden. Das funktioniert mit einfacher Arithmetik in R.
sqrt(0.3047955/(1-0.3047955))
0.6621372
Der f-Wert für die ANOVA ist 0,6621372
Cohen: Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences (1988), S. 284-287 hilft hier bei der Einordnung. Ab 0,1 ist es ein schwacher Effekt, ab 0,25 ein mittlerer und ab 0,4 ein starker Effekt.
Demzufolge ist der mit der ANOVA beobachtete Unterschied ein starker Unterschied, da 0,6621372 über der Grenze zum starken Effekt liegt.
3.6 Effektstärke der paarweisen Vergleiche
Wie eben beschrieben ist die Effektstärke der einfaktoriellen ANOVA weniger interessant. Die paarweisen Vergleiche und deren Effektstärke sollten im Fokus stehen, um signifikante Unterschiede zwischen jene einordnen zu können.Hierzu gibt es keine einfache Funktion in R. Vielmehr wird mit dem Konzept des Piping gearbeitet, welches mit dem dplyr-Paket zur Anwendung kommt. Gleichzeitig braucht es das rstatix-Paket zur Verwendung der cohens_d()-Funktion:
library(dplyr)
library(rstatix)
data_anova %>%
cohens_d(Ruhepuls~Trainingsgruppe) %>%
as.data.frame()
Dies führt im Ergebnis zu folgendem Output:
.y. group1 group2 effsize n1 n2 magnitude
1 Ruhepuls 2 1 -0.8337029 13 13 large
2 Ruhepuls 2 0 -1.5672809 13 13 large
3 Ruhepuls 1 0 -0.7207181 13 13 moderate
Hier sehen wir die Effektstärken in der Spalte “effsize” für alle drei paarweisen Vergleiche. Da wir nur für den Vergleich zwischen Gruppe 2 und 0 (Gut trainiert vs. untrainiert) eine Signifikanz in den post-hoc-Tests haben, sollte auch nur hier die Effektstärke abgelesen werden. Sie beträgt d = -1.567. Die anderen beiden Effektstärken sollten aufgrund der Nichtsignifikanz des Unterschiedes nicht interpretiert werden – es gibt Fachdisziplinen die hier aber dennoch ein Reporting wünschen.
ACHTUNG: Cohen’s d sollte betragsmäßig, also stets als positiver Wert berichtet werden.
In der Spalte “magnitude” wird die Größe des Effektes eingeordnet. d = -1.567 wird als großer Effekt eingeordnet.
Dies erfolgt auf Basis von Cohen (1992): A Power Primer, S. 157:
- Ab 0,2 ist es ein schwacher Effekt,
- ab 0,5 ein mittlerer und
- ab 0,8 ein starker Effekt.
