Wilcoxon-Test für 2 abhängige Stichproben in SPSS rechnen

1 Ziel des Wilcoxon-Test in SPSS

Der Wilcoxon-Test ist ein nicht parametrischer Mittelwertvergleich bei 2 abhängigen Stichproben. Streng genommen verwendet er Ränge statt der tatsächlichen Werte und vergleicht Rangsummen. Er ist das Gegenstück zum t-Test bei abhängigen Stichproben.

 

2 Voraussetzungen des Wilcoxon-Test in SPSS

• zwei voneinander abhängige Stichproben/Gruppen
• ordinal oder metrisch skalierte y-Variable
• normalverteilte y-Variable innerhalb der Gruppen nicht nötig

 

3 Durchführung des Wilcoxon-Test in SPSS

Über das Menü in SPSS: Analysieren > Nichtparametrische Test > Verbundene Stichproben

Zunächst ist der Reiter Felder auszuwählen. Hier werden die beiden zu testenden Variablen eingesetzt. In meinem Falle sind es Wiederholungen einer Übung vor dem Training (t0) und nach 10 Wochen Training (t10).

• Anschließend wird (1) im Reiter „Einstellungen“ die Option „Tests anpassen“ (2) gewählt.
• Im Bereich „Median- und hypothetische Differenz vergleichen“ ist dann (3) „Wilcoxon-Test mit zugeordneten Paaren (2 Stichproben)“ auszuwählen.
• Schließlich ist noch auf „Ausführen“ zu klicken, um die Berechnung zu starten und die Ergebnisse ausgeben zu lassen.

 

4 Interpretation des Wilcoxon-Test in SPSS

Der Output besteht aus drei wesentlichen Teilen:

1. Hypothesenübersicht (4.1),
2. Zusammenfassung des Wilcoxon-Tests bei verbundenen Stichproben (4.2) und
3. Histogrammen zur Differenz und den jeweiligen Zeitpunkten (4.3).

 

4.1 Tabelle Hypothesenübersicht

Hier ist erkennbar, was infolge der Testung mit der Nullhypothese geschieht. Im Falle eines hinreichend kleinen p-Wertes wird die Nullhypothese keines Unterschiedes der Testvariable zwischen den beiden Zeitpunkten nicht verworfen.
Die asymptotische Signifikanz ist hier mit p < .001 angegeben, weshalb die Nullhypothese entsprechend abgelehnt bzw. verworfen wird.

Folglich kann für den Beispieldatensatz eine Veränderung attestiert werden. Allerdings ist NICHT klar, ob es sich um eine Erhöhung oder Absenkung handelt. Das kann bei Betrachtung der in 4.3 gezeigten Histogramme eindeutig festgestellt werden.

 

4.2 Tabelle Zusammenfassung des Wilcoxon-Tests bei verbundenen Stichproben

Diese Tabelle zeigt eine etwas ausführlichere Darstellung der Testergebnisse – über die reine Signifikanz der vorhergehenden Tabelle hinaus.

• Gesamtzahl ist die Anzahl der paarweisen Beobachtungen. Es liegen also hier 17 Fälle vor, zu jeweils beiden Zeitpunkten.
• Teststatistik ist stets der kleinere Wert der beiden gebildeten Rangsummen. Die beiden Rangsummen ergeben sich jeweils aus der Summe den positiven und negativen Differenzen zwischen den Zeitpunkten. Die Teststatistik wird mit w abgekürzt.
• Standardfehler ist der Standardfehler der Teststatistik.
• Standardisierte Teststatistik ist die z-transformierte Teststatistik, weshalb jene auch lediglich mit z abgekürzt wird.
• Asymptotische Signifikanz bedeutete, dass die Signifikanz approximativ auf Basis der Normalverteilung ermittelt wurde, was bei Stichprobengrößen von n > 20 zuverlässig funktioniert. Bei kleineren Stichproben (wie im Beispiel) sollte die exakte Signifikanz verwendet werden. Dessen Ermittlung funktioniert über „Klassische Dialogfelder“, siehe Abschnitt 5.

Im Ergebnis zeigt diese Tabelle ebenfalls die Signifikanz und man entscheidet bei hinreichend kleinem p-Wert gegen die Nullhypothese von Gleichheit und zugunsten der Alternativhypothese eines Unterschiedes. Achtung: der Test ist zweiseitig sagt also nichts darüber aus, welcher Zeitpunkt den größeren Wert hat.

Zur Beurteilung, ob sich die Testvariable erhöht oder abgesenkt hat,

 

4.3 Histogramme

Im ersten Histogramm ist erkennbar, dass es 17 positive Differenzen in meinem Beispiel gibt. Das bedeutet, dass es 17 Fälle gibt, bei denen sich die Testvariable erhöht hat. Im Beispiel haben also alle Testsubjekte einen höheren Wert nach dem Training als vor dem Training. Entsprechend gibt es keine negativen Differenzen und auch keine Bindungen. Bindungen sind unveränderte Werte.

 

Die anderen beiden Histogramme zeigen die jeweilige Verteilungen der Testvariable zu den beiden Zeitpunkten.

5 Exakter Test und deskriptive Statistiken

5.1 Exakten Test berechnen

Über Analysieren > Nicht parametrische Tests > Klassische Dialogfelder > Zwei verbundene Stichproben.

Im nachfolgenden Dialogdeld werden die beiden Testvariablen als Variable 1 und Variable 2 definiert.

Zusätzlich empfiehlt sich über den Button „Exakt“ noch für die Anforderungen der exakten Signifikanz die Option „Exakt“ auszuwählen. Die Zeitgrenze pro Test ist optional und ein Relikt aus alten Tagen. Inzwischen sollte keine CPU mehr länger als wenige Sekunden benötigen, um in SPSS die exakte Signifikanz berechnen zu können.

Unter dem Button „Optionen“ empfehle ich zudem „Deskriptive Statistiken“ anzufordern.

 

5.2 Interpretation der Ergebnisse

Die deskriptiven Statistiken geben lediglich einen kurzen Überblick, wieviele Wiederholungen die Testsubjekte vor und nach dem Training geschafft haben. Mittelwert, Standardabweichung, Minimum und Maximum werden angezeigt. Es ist erkennbar, dass die Anzahl geschaffter Wiederholungen im Mittel nach 10 Wochen höher ist, was ein erstes Anzeichen ist, dass sich nach dem Training wohl eine Verbesserung der Physis eingestellt hat. Diesen ersten Eindruck gilt es nachfolgend mit dem Wilcoxon-Test zu testen – die Ergebnisse sind aber natürlich analog zu oben.

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Der Wilcoxon-Test arbeitet wie gesagt mit Rängen. Bei negativen Rängen hat der Proband einen auf den Rang in der Stichprobe bezogen niedrigere Anzahl Wiederholungen geschafft (hier: 0-mal). Positiv heißt ein höherer Rang (hier 17-mal) und Bindung steht für keine Veränderung (hier: 0-mal).

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Die Tabelle „Teststatistiken“ zeigt in der zweiten Zeile die „Asymptotische Signifikanz (2-seitig)“ von p < .001. Wenn die Stichprobe mindestens 20 (stellenweise liest man 25) Probanden umfasst, wird diese verwendet (Harris, T., & Hardin, J. W. (2013). Exact Wilcoxon signed-rank and Wilcoxon Mann–Whitney ranksum tests. S. 339). Bei weniger als 25 (hier 17) ist die exakte Signifikanz zu betrachten.

Die exakte Signifikanz (2-seitig) ist mit < 0.001 ebenfalls hinreichend klein und reicht daher zur Verwerfung der Nullhypothese von gleicher Anzahl Wiederholgen über die Zeitpunkte hinweg. Demzufolge wird die Alternativhypothese angenommen, dass über die Zeitpunkte hinweg (nach dem Training) unterschiedliche Anzahl Wiederholungen gemessen wurden.

Achtung: Wenn bereits eine Wirkungsvermutung vor dem Test existiert – die plausible Annahme, dass ein 10-wöchiges Training die Anzahl Wiederholungen erhöht, wäre so eine – dann würde man 1-seitig testen. Hierzu darf die Asymptotische bzw. Exakte Signifikanz halbiert werden. In diesem Falle ändert sich entsprechend nichts an der Aussage der Verwerfung der Nullhypothese.  

 

6 Ermittlung der Effektstärke des Wilcoxon-Tests

Für die Effektstärkenbeurteilung gibt es keinen Goldstandard, es hat sich aber etabliert den sog. r-Wert zu berichten (Rosenthal, Robert, Rubin (2003).

Die Effektstärke r wird mit folgender Formel berechnet. Der z-Wert wird durch die Wurzel der Stichprobengröße geteilt. Aufgrund der Betragsstriche wird dieser Quotient immer positiv sein.

   

Im Beispiel ist also -3.625 durch die Wurzel aus 17 zu teilen und der Betrag dessen zu nehmen. Das Ergebnis hieraus lautet: r = 0.879

Diese errechnete Effektstärke r = 0.879 ist folglich noch einzuordnen. Idealerweise werden hierzu vergleichbare Studien herangezogen. Sollten keine existieren, kann mit fachspezifischen Grenzen eine Einordnung vorgenommen werden.

Wenn auch diese nicht vorhanden sinn, kann mit Cohen: Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences (1988), S. 79-81 / Cohen (1992) A Power Primer, S. 157 argumentiert werden.

Die Effektgrenzen laut Cohen sind 0,1-0,3 (schwach), 0,3-0,5 (mittel) und größer 0,5 (stark).

 

7 Reporting

Berichtet werden können die Mediane, behelfsweise die Mittelwerte, die standardisierte Teststatistik, der p-Wert sowie die Effektstärke. Letztere ist zudem einzuordnen:

Das Training hat einen positiven Effekt (M_t0 = 18.76, M_t10 = 27.65> auf die Anzahl der geschafften Wiederholungen gehabt, mit z = -3.625; p < .001), r = 0.879.
Nach Cohen (1992) ist dieser Unterschied groß.

 

8 Videotutorials

 

9 Datensatz zum Download

 

10 Literatur

• Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences. New York, NY: Psychology Press, Taylor & Francis Group
• Cohen, J. (1992). A power primer. Psychological bulletin, 112(1), 155-159.
• Harris, T., & Hardin, J. W. (2013). Exact Wilcoxon Signed-Rank and Wilcoxon Mann–Whitney Ranksum Tests. The Stata Journal, 13(2), 337-343. https://doi.org/10.1177/1536867X1301300208 (Original work published 2013)
• Rosenthal, Robert, and Donald B. Rubin (2003). r equivalent: A simple effect size indicator. Psychological Methods 8, no. 4: 492-496.