Inhaltsverzeichnis
1 Ziel des Einstichproben t-Test in SPSS
Der Einstichproben t-Test prüft, ob der Mittelwert eines Merkmals einer Stichprobe dem Mittelwert einer Grundgesamtheit oder einem vermuteten Mittelwert gleicht bzw. in etwa ähnlich ist. Zum Beispiel: entspricht die bei einer zufällig erhobenen Stichprobe durchschnittliche ermittelte Intelligenz (gemessen mit IQ) dem Durchschnitts-IQ der Bevölkerung.
Kein SPSS? Kein Problem! Einstichproben t-Test in Excel oder R – jeweils mit Beispielberechnung.
2 Voraussetzungen des Einstichproben t-Test in SPSS
- Metrische (intervall- oder verhältnisskalierte) Testvariable.
- Die Testvariable sollte in etwa normalverteilt sein. Wie man eine Variable auf Normalverteilung prüft, zeigt dieser Artikel. Aus Vereinfachungsgründen zeige ich dies in diesem Artikel nicht und gehe schlicht von Normalverteilung aus.
- Die Fälle sollten voneinander unabhängig sein.
- Es braucht zudem einen vermuteten Mittelwert. Dieser ergibt sich aus der Grundgesamtheit, bisherigen Erfahrungen oder schlicht (theoretisch hergeleiteten) Vermutungen.
3 Hypothesen des Einstichproben t-Test
3.1 Nullhypothese
Die Nullhypothese (H0) beim Einstichproben t-Test geht stets von Gleichheit der Mittelwerte von Stichprobe und Grundgesamtheit aus:
H0: Es gibt keinen Unterschied im Mittelwert zwischen Stichprobe und Grundgesamtheit/Population.
3.2 Alternativhypothese
Die Alternativhypothese (H1) ist – wie bei jedem analytischen Test – der vermutete Effekt. Beim Einstichproben t-Test also, dass es einen Unterschied bei den Mittelwerten von Stichprobe und Grundgesamtheit gibt. Das ist die sog. zweiseitige Testung, das heißt, es wird lediglich ein Unterschied vermutet, es ist aber nicht bekannt, ob der Stichprobenmittelwert größer oder kleiner dem Mittelwert der Grundgesamtheit ist.
H1: Es gibt einen Unterschied im Mittelwert zwischen Stichprobe und Grundgesamtheit/Population.
Bei diesem Test kann die Alternativhypothese (H1) aber auch spezifisch und damit einseitig formuliert und getestet werden. Einseitig bedeutet, dass eine konkrete Vermutung im Vorfeld existiert. Also, ob der Stichprobenmittelwert kleiner als der Mittelwert der Grundgesamtheit bzw. dem vermuteten Wert ist. Alternativ kann auch unterstellt werden, dass der Stichprobenmittelwert größer ist als der Mittelwert der Grundgesamtheit. Folglich könnten Alternativhypothesen auch einseitig formuliert werden:
H1: Der Mittelwert der Stichprobe ist kleiner als der Mittelwert der Grundgesamtheit.
oder
H1: Der Mittelwert der Stichprobe ist größer als der Mittelwert der Grundgesamtheit.
4 Berechnung des Einstichproben t-Test in SPSS
Der t-Test basiert auf der Berechnung der T-Statistik:
![\[ T = \sqrt{n}\frac{\overline{x}-\mu_0}{S} \]](https://bjoernwalther.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a755a8efcf909f9afc66c5855dc2d069_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Zum Glück muss man das in SPSS nicht alles nachbauen.
Der Test ist zu finden unter Analysieren > Mittelwerte und Proportionen vergleichen > t-Test bei einer Stichprobe.
Daraufhin erscheint folgendes Dialogfeld, was entsprechend auszufüllen ist.
- Testvariable: Ich möchte den Intelligenzquotient (IQ) testen und füge ihn daher in die Box „Testvariable(n)“ hinzu.
- Testwert: Wie bereits erwähnt, ist es hierfür notwendig im Vorfeld eine Vermutung oder Erfahrungswerte zu haben. In meinem Fall habe ich in einer größeren Stichprobe einer Vergleichsstudie einen mittleren IQ von 105 beobachtet und wähle diesen als Vergleichs- bzw. Testwert.
- Effektgröße schätzen: der Haken ist standardmäßig gesetzt und kann später zur Einordnung eines möglicherweise beobachteten Effektes dienen (bis SPSS 26, siehe Hinweis unten).
- Unter Optionen kann das standardmäßig berechnete 95%-Konfidenzintervall geändert werden. Zusätzlich kann entschieden werden, ob SPSS fehlende Werte je Analyse oder listenweise ausschließt. Letzeres ist nur zutreffend bei 2 oder mehr Testvariablen. Üblicherweise kann alles so belassen werden.
- Sollte Bootstrap gewünscht sein, kann dies unter dem Button „Bootstrap“ angefordert werden. Dies umfasst die Schätzung von: Verzerrung der Mittelwertdifferenz, Standardfehler, Signifikanz und dem Konfidenzintervall. Üblicherweise ist dies ebenfalls nicht notwendig.
- ab 0,2 ist es ein schwacher Effekt
- ab 0,5 ist es ein mittlerer Effekt
- ab 0,8 ist es ein starker Effekt
5 Interpretation der Ergebnisse des Einstichproben t-Test in SPSS
Zunächst erhält man eine kleine Tabelle mit deskriptiven Statistiken, also Anzahl an Beobachtungen (N) Mittelwert, Standardabweichung sowie Standardfehler des Mittelwertes. Hier ist eigentlich nur der Mittelwert interessant. Der beträgt hier 109.82 und ist an sich größer als die vermuteten 105. Die Frage ist, ob es sich um einen tatsächlichen Effekt, also Unterschied handelt bzw. ob wir einen „zufälligen Unterschied“ ausschließen oder mit zumindest recht kleiner Irrtumswahrscheinlichkeit beobachten.
5.1 Interpretation des zweiseitigen t-Tests
Die nächste Tabelle ist die Ergebnistabelle des Einstichproben t-Tests. Hier wird der T-Wert mit 2.582 bei 50 Freiheitsgraden (df – degrees of freedom) bei einer zweiseitigen Signifikanz von p = 0.013 angegeben. Typische Schreibweise: T(50) = 2.582; p = 0,013.
Der Unterschied zwischen dem beobachteten Mittelwert und dem Testwert von 105 ist somit mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit nicht zufällig, da die typische Verwerfungsgrenze von Alpha = 0.05 vom p-Wert mit p = 0.013 deutlich unterschritten wird. Die Nullhypothese H0 wird somit verworfen und die Alternativhypothese H1 eines Unterschiedes angenommen.
5.2 Interpretation des einseitigen t-Tests
Hat man im Vorfeld die wohlbegründete Vermutung, dass der Stichprobenmittelwert über dem vermuteten Testwert liegt, testet man einseitig (siehe 3.2) und verwendet das Einseitige p. Dies bedeutet in Kurzform, dass die Signifikanz (p-Wert) halbiert wird. Der p-Wert ist demnach gerundet p = 0.006 und noch deutlicher unter 0.05. Die Verwerfung der Nullhypothese zugunsten der Alternativhypothese H1 wäre auch hier das Ergebnis.
ACHTUNG: Ist die Vermutung im Vorfeld ein kleinerer beobachteter Mittelwert als 105, würde man bei diesem Ergebnis von 109.82 diese Alternativhypothese nicht annehmen dürfen, weil das Ergebnis konträr zur Vermutung ist. Die Signifikanz ist hierbei kein Grund für die Annahme der Alternativhypothese H1!
5.3 Interpretation der Effektstärke (SPSS 27+)
Wird die Nullhypothese (kein Unterschied) zugunsten der Alternativhypothese (Unterschied) verworfen, ist die Größe dieses Unterschiedes zu quantifizieren und anschließend einzuordnen.
Seit SPSS 27 wird (sofern oben der Haken gesetzt wurde) direkt die Effektstärke Cohen’s d ausgegeben. Hierbei ist der Wert der Punktschätzung maßgeblich. Im Beispiel ist es 0.362.
Existieren bereits 1) ähnliche Studien oder 2) fachspezifische Grenzen, werden diese zur Einordnung der erlangten Effektstärke verwendet.
Existiert beides nicht, können die 3) Grenzen der Sozial- und Verhaltenswissenschaften genutzt werden, welche bei Cohen (1988) S. 25-27 bzw. Cohen (1992), S. 157 angegeben sind:
Würde Cohen (1988) bzw. (1992) genutzt werden, ist die mit Cohen’s d quantifizierte Größe des Unterschiedes mit 0.362 unter der Grenze zum mittleren Effekt. Demzufolge ist der Effekt/Unterschied nach Cohen (1988) bzw. (1992) klein.
5.4 Berechnung und Interpretation der Effektstärke (SPSS 26 und früher)
Die Effektstärke wird von früheren Versionen von SPSS nicht ausgegeben und muss händisch berechnet werden. Die Berechnung erfolgt über die Formel mit dem T-Wert geteilt durch die Wurzel aus der Anzahl der Beobachtungen (N), vgl. Berry, Johnston (2023), S. 68, Formel 3.32.
![\[ d= \frac{t}{\sqrt{N}} \]](https://bjoernwalther.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-93b931dc5289909432b070a47b373954_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Im Beispiel ist der t-Wert 2.582 und N = 51. Eingesetzt in die Formel:
![\[ d= \frac{2.582}{\sqrt{51} }= 0.361550777 \]](https://bjoernwalther.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7759f3cfccb83b0c9fdf5de27842fa6c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Das Ergebnis gleicht natürlich der obigen Berechnung. Der Unterschied ist damit auch hier klein.
6 Reporting des Einstichproben t-Tests
Probanden der Stichprobe (M = 109,82; SD = 13,34) haben einen vom Vergleichswert 105 verschiedenen IQ, t(50) = 2,58; p = 0,013; d = 0,36.
Nach Cohen (1992) ist dieser Unterschied klein.
7 Videotutorials
8 Syntax
Die Syntax zum Einstichproben t-Test. Fett markiert sind die zu tauschenden Parameter bzw. Zahlenwerte.
T-TEST
/TESTVAL=105
/MISSING=ANALYSIS
/VARIABLES=IQ
/ES DISPLAY(TRUE)
/CRITERIA=CI(.95).
Im Falle von Bootstrapping mit der empfohlenen BCa-Methode lautet die Syntax:
BOOTSTRAP
/SAMPLING METHOD=SIMPLE
/VARIABLES INPUT=IQ
/CRITERIA CILEVEL=95 CITYPE=BCA NSAMPLES=1000
/MISSING USERMISSING=EXCLUDE.
T-TEST
/TESTVAL=105
/MISSING=ANALYSIS
/VARIABLES=IQ
/ES DISPLAY(TRUE)
/CRITERIA=CI(.95).
9 Literatur
- Berry, K. J., Johnston, J.E. (2023): Statistical Methods: Connections, Equivalencies, and Relationships, Springer Nature
- Cohen, J. (1988): Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences. bzw.
- Cohen, J. (1992): A power primer. Psychological bulletin, 112(1), 155-159.
