1 Ziel und Anwendbarkeit des Kendall-Tau-Korrelationskoeffizienten
Der Kendall-Tau-Korrelationskoeffizient (τ) prüft zwei Variablen auf einen ungerichteten Zusammenhang und nimmt Werte zwischen -1 und +1 an. Er zeigt also entweder einen positiven Zusammenhang, einen negativen Zusammenhang oder keinen Zusammenhang zweier Variablen.
Die Nullhypothese der Kendall-Tau-Korrelation geht von keinem Zusammenhang aus. Er gilt zudem als bessere Schätzung der wahren unbekannten Korrelation der Grundgesamtheit als die Spearman-Korrelation (Field (2018), S. 353).
2 Voraussetzungen des Kendall-Tau-Korrelationskoeffizienten in SPSS
- zwei ordinal skalierte Variablen, zwei metrisch skalierte Variablen oder eine metrisch skalierte und eine ordinal skalierte Variable – im Beispiel unten verwende ich eine metrische und eine ordinal skalierte Variable
- Häufig genannt: Linearität – gerade das untersucht man mit der Korrelation nach Kendall-Tau aber ohnehin
Sind die Voraussetzungen nicht erfüllt und ihr wollt dennoch korrelieren, schaut im Beitrag zur richtigen Wahl des Korrelationskoeffizienten nach Alternativen.
3 Durchführung der Korrelation nach Kendall-Tau in SPSS
3.1 Voraussetzungsprüfung für den Kendall-Tau-Korrelationskoeffizienten
Die Skalenniveaus der zu korrelierenden Variablen sind so gut wie immer direkt bekannt. Fragen nach der Zustimmung zu einer Aussage oder Zufriedenheit mit einem Produkt oder Einkommensklassen („Likert-Skala“) erfüllen das Kriterium der ordinalen Skalierung.
Fasst man allerdings mehrere Items einer Skala (z.B. via Mittelwert) zusammen, werden sie häufig als quasi-metrisch eingestuft (Bortz, Schuster (2011), S. 23), was eine Korrelation nach Pearson ermöglicht. Als Alternative zu Kendall-Tau kann auch der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman in SPSS gerechnet werden.
3.2 Grafische Darstellung des Zusammenhanges in SPSS
Parallel zu jeder Korrelation nach Kendall-Tau kann eine kleine Visualisierung des Zusammenhanges mittels Streudiagramm erfolgen. Persönlich halte ich das für nicht notwendig, aber wenn eine Darstellung gewünscht ist, geht man hierzu über „Grafik“ > „Diagrammerstellung“ und wählt unter Streudiagramm die beiden Variablen aus. Welche Variable an welche Achse kommt, ist hierbei nachrangig. Im Ergebnis erhält man folgendes Diagramm:
Erkennbar ist, dass mit zunehmender Motivation auch das Einkommen steigt. Ein positiver Zusammenhang ist also naheliegend. Wie stark ist dieser allerdings? Dazu braucht es den Kendall-Tau-Rangkorrelationskoeffizient.
4 Kendall-Tau-b oder Kendal-Tau-c?
Prinzipiell gibt es drei Kendall-Tau-Varianten: Kendall-Tau-a, Kendall-Tau-b und Kendall-Tau-c.
- Die Variante Kendall-tau-a macht keine Anpassung für mehrfach vorkommende Ränge – das kommt in der Realität zugegebenermaßen eher selten vor.
- Kendall-tau-b hingegen macht diese Anpassung.
- Kendall-tau-c ist hingegen noch etwas besser geeignet als Kendall-tau-b, wenn die beiden zu korrelierenden Variablen nicht die gleiche Anzahl an Ausprägungen haben. Haben sie dies, ist Kendall-tau-b zu wählen.
Da in SPSS allerdings standardmäßig Kendall-tau-b berechnet wird und die Unterschiede zwischen der Variante b und c nicht sehr groß sind, ist dies vor allem eine theoretische Diskussion.
Meine persönliche Einschätzung: Im Zweifel macht man mit Variante c wohl weniger falsch. Ich zeige nachfolgend beide Möglichkeiten, weil v.a. Kendall-tau-c nicht über das typische Dialogfeld zu finden ist.
Zusammengefasst ist folgendes zu wählen:
Kendall-tau-c: Beide Variablen haben nicht die gleiche Anzahl an Ausprägungen und Ränge kommen mehrfach vor.
Kendall-tau-b: Mehrfach vorkommende Ränge und gleiche Anzahl an Ausprägungen der beiden Variablen.
Kendall-tau-a (nicht in SPSS vorhanden): Einfach vorkommende Ränge und gleiche Anzahl an Ausprägungen der beiden Variablen.
5 Berechnung der Korrelation nach Kendall-Tau-b in SPSS
Im Menü unter „Analysieren“ > „Korrelation“ > „Bivariat„.
Danach erhält man das typische Dialogfeld zur Korrelation. Hier sind wie gewohnt die zu korrelierenden Variablen nach rechts in das Feld „Variablen“ zu verschieben. Anschließend ist unter Korrelationskoeffizienten der im Bild rot eingerahmte Kendall-Tau-b auszuwählen und mit einem Klick auf OK zu bestätigen.
Als Ergebnis bekommt man folgende Korrelationstabelle:
Hier ist erkennbar, dass Motivation und Einkommen positiv mit τb = 0,355 korrelieren und die Signifikanz dessen p = 0,001 beträgt.
Die Nullhypothese (kein Zusammenhang) kann bei hinreichend kleinen p-Werten verworfen werden. Demzufolge ist die Alternativhypothese eines Zusammenhanges zwischen Motivation und Einkommen anzunehmen. Der Wert beträgt 0,355 und wird weiter unten hinsichtlich der Effektstärke eingeordnet.
6 Berechnung der Korrelation nach Kendall-Tau-c in SPSS
Zu Kendall-tau-c kommt man über „Analysieren“ > „Deskriptive Statistiken“ > „Kreuztabellen„.
Als Nächstes werden die beiden Variablen in Zeilen und Spalten eingefügt. Es ist eine symmetrische Betrachtung und daher egal, welche Variable wo zugeordnet wird. Ich lasse mir keine Kreuztabelle ausgeben (Haken bei „Keine Tabellen„). Wenn ihr allerdings eine Kreuztabelle mit den Häufigkeiten der Merkmalskombinationen erhalten möchtet, empfiehlt es sich die Variable mit der größeren Anzahl an Ausprägungen in die „Zeilen“ zu packen.
Als Nächstes klickt ihr auf Statistiken und wählt entsprechend Kendall-tau-c aus. Aus Gründen der Vollständigkeit und zum Vergleich lasse ich mir auch Kendall-tau-b noch mit ausgeben.
Der Korrelationskoeffizient für Kendall-tau-c wird unter Kendall-tau-b angezeigt und beträgt τc = 0,353 mit einer näherungsweisen Signifikanz von p = 0,000. Allerdings ist das nur gerundet und man sollte in einem solchen Fall p < 0,001 schreiben. Betragsmäßig ist dieses Ergebnis kaum verschieden vonb Kendall-tau-b (0,355), was wir oben bereits erhalten hatten.
7 Ermittlung der Effektstärke des Kendall-Tau-Korrelationskoeffizienten
Die Effektstärke ist im Rahmen der Korrelation der Korrelationskoeffizient r selbst.
- Vorzugsweise wird die erhaltene Korrelation mit bereits existierenden Korrelationsuntersuchungen eingeordnet.
- Gibt es keine Vergleichswerte können evtl. existierende fachspezifische Grenzen zur Einordnung verwendet werden.
- Sind auch jene nicht existent, können die Grenzen der Sozial- und Verhaltenswissenschaften verwendet werden.
Diese Grenzen sind laut Cohen: Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences (1988), S. 79-81, Cohen (1992), S. 157: ab 0,1 (schwach), ab 0,3 (mittel) und größer 0,5 (stark).
Im vorliegenden Beispiel habe ich keine vorhandenen Vergleichswerte. Die Effektstärke ist mit τb 0,355 bzw. τc 0,353 > 0,3 und damit nach Cohen (1988/1992) gerade noch mittel. Es handelt sich also um eine mittlere Korrelation zwischen Einkommen und Motivation.
8 Videotutorial
https://www.youtube.com/watch?v=dOTlWiFqSHM/
9 Literatur
- Bortz, J., Schuster, C. (2011). Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler: Limitierte Sonderausgabe. Deutschland: Springer Berlin Heidelberg.
- Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences. New York, NY: Psychology Press, Taylor & Francis Group
- Cohen, J. (1992). A power primer. Psychological bulletin, 112(1), 155-159.
- Field, A. P. (2018). Discovering statistics using IBM SPSS statistics. London; Thousand Oaks, Kapitel 10.5.2, S. 447-448.